8.2 KB · ⇊ 3 parts · ⤓ Micron 8.2 KB · ⤓ HTML 63.0 KB

top

In mwcqgeometria, si chiama mwcgdiagonale il mwcwsegmento che congiunge due mwdavertici non consecutivi di un mwdqpoligono o di un mwdgpoliedro. Le diagonali possono essere interne o esterne al perimetro del poligono o al volume del poliedro, in particolare sono tutte interne se la figura è convessa.

Per sapere quante diagonali partono da un vertice di un poligono di mwea n > 2 {\displaystyle n>2} vertici si contano tutti i vertici tranne il vertice considerato e i due consecutivi ad esso, in quanto i segmenti ottenuti costituirebbero due lati (e quindi non sarebbero "diagonali" secondo la definizione sopra riportata), quindi si hanno mweq n − − 3 {\displaystyle n-3} diagonali.

Il numero totale delle diagonali di un poligono di mwew n > 2 {\displaystyle n>2} vertici è dato dalla formula

mwfg d = n ( n − − 3 ) 2 {\displaystyle d={\frac {n(n-3)}{2}}}

• Dimostrazioni

• Dimostrazione 1

• Dimostrazione 2

• Analisi empirica

• Altri progetti

Si dimentichi per un attimo il poligono e lo si sostituisca con l'insieme degli mwhw n {\displaystyle n} punti corrispettivi dei vertici. Si tracci da ciascun punto le diagonali verso ognuno dei restanti mwia n − − 1 {\displaystyle n-1} (per semplicità ora non si farà distinzioni fra mwiqlati e diagonali); si ha quindi che da ogni vertice del poligono partono in totale mwig n − − 1 {\displaystyle n-1} diagonali, se però le si vogliono contare correttamente occorre fare il seguente ragionamento:

da mwjq A 1 {\displaystyle A_{1}} partono mwjg n − − 1 {\displaystyle n-1} diagonali;

da mwka A 2 {\displaystyle A_{2}} partono mwkq n − − 2 {\displaystyle n-2} diagonali (si toglie quella proveniente da mwkg A 1 {\displaystyle A_{1}} );

da mwla A 3 {\displaystyle A_{3}} partono mwlq n − − 3 {\displaystyle n-3} diagonali (si tolgono quelle provenienti da mwlg A 1 {\displaystyle A_{1}} e mwlw A 2 {\displaystyle A_{2}} );

...

da mwmg A n {\displaystyle A_{n}} partono mwmw n − − n = 0 {\displaystyle n-n=0} diagonali (ogni punto è già congiunto da una propria diagonale).

Il numero totale delle diagonali è quindi la sommatoria di una mwnqprogressione aritmetica

mwoa 0 + 1 + 2 + . . . + ( n − − 1 ) = n ( n − − 1 ) 2 , {\displaystyle 0+1+2+...+(n-1)={\frac {n(n-1)}{2}},}

da cui però bisogna togliere gli mwog n {\displaystyle n} lati, che inizialmente sono stati considerati per semplicità delle diagonali, quindi

mwpq n ( n − − 1 ) 2 − − n = n ( n − − 3 ) 2 . {\displaystyle {\frac {n(n-1)}{2}}-n={\frac {n(n-3)}{2}}.}

Come si può verificare dalla formula, il mwpwtriangolo con i suoi 3 lati è l'unico poligono a non avere diagonali.

Iniziamo dicendo che per formare una diagonale occorrono due vertici. Inoltre il segmento mwqg A 1 A 4 ¯ ¯ {\displaystyle {\overline {A_{1}A_{4}}}} e il segmento mwqw A 4 A 1 ¯ ¯ {\displaystyle {\overline {A_{4}A_{1}}}} rappresentano la stessa diagonale, quindi l'ordine con cui si prendono i vertici non è importante. Si tratta allora di contare quante configurazioni ordinate posso formare con mwra n {\displaystyle n} oggetti presi 2 alla volta. Per contare queste configurazioni ci viene in aiuto il mwrqcalcolo combinatorio, infatti le configurazioni possibili sono le mwrgcombinazioni semplici di mwrw n {\displaystyle n} oggetti di classe 2

mwsg C n , 2 = ( n 2 ) = n ! 2 ! ( n − − 2 ) ! = n ( n − − 1 ) 2 . {\displaystyle C_{n,2}={n \choose 2}={\frac {n!}{2!(n-2)!}}={\frac {n(n-1)}{2}}.}

A queste configurazioni vanno poi tolte quelle ottenute prendendo due vertici consecutivi, quindi il numero mwta n {\displaystyle n} dei vertici del poligono

mwtw d = n ( n − − 1 ) 2 − − n = n ( n − − 1 ) − − 2 n 2 , {\displaystyle d={\frac {n(n-1)}{2}}-n={\frac {n(n-1)-2n}{2}},}

da cui mwuq d = n ( n − − 3 ) 2 . {\displaystyle d={\frac {n(n-3)}{2}}.}

Provando a tracciare le diagonali di diversi poligoni si ottiene la seguente tabella:

Si osserva che mentre i lati si susseguono linearmente, il numero delle rispettive diagonali aumenta in modo mw9gparabolico (per convincersene basta immettere i dati in un mw9wpiano cartesiano), quindi la formula risolutiva deve essere un'mw-aequazione di secondo grado. Per trovarla si impieghi un mw-qsistema di 3 equazioni

mw-w { a n 1 2 + b n 1 + c = d 1 a n 2 2 + b n 2 + c = d 2 a n 3 2 + b n 3 + c = d 3 {\displaystyle {\begin{cases}an_{1}^{2}+bn_{1}+c=d_{1}\\an_{2}^{2}+bn_{2}+c=d_{2}\\an_{3}^{2}+bn_{3}+c=d_{3}\end{cases}}}

dove mw-q n i {\displaystyle n_{i}} è il numero dei lati e mw-g d i {\displaystyle d_{i}} è il numero delle diagonali corrispondenti. Poiché sia mw-w n i {\displaystyle n_{i}} che mwaqa d i {\displaystyle d_{i}} sono noti (almeno per un numero finito di casi), le incognite sono mwaqe a , b , c {\displaystyle a,b,c} . Sostituendo, ad esempio, mwaqi n 1 = 3 , n 2 = 4 , n 3 = 5 {\displaystyle n_{1}=3,n_{2}=4,n_{3}=5} e i corrispondenti valori di mwaqm d i {\displaystyle d_{i}} si ha

mwaqu { 9 a + 3 b + c = 0 16 a + 4 b + c = 2 25 a + 5 b + c = 5 {\displaystyle {\begin{cases}9a+3b+c=0\\16a+4b+c=2\\25a+5b+c=5\end{cases}}}

e risolvendo il sistema si ottiene mwaqc a = 1 2 , b = − − 3 2 , c = 0 {\displaystyle a={\frac {1}{2}},b=-{\frac {3}{2}},c=0} .

Quindi la formula risolutiva è mwaqk d = n ( n − − 3 ) 2 {\displaystyle d={\frac {n(n-3)}{2}}} che sul mwaqopiano cartesiano assume la forma della mwaqsconica mwaqw x 2 − − 3 x − − 2 y = 0 {\displaystyle x^{2}-3x-2y=0} con mwaq0 x = n {\displaystyle x=n} e mwaq4 y = d {\displaystyle y=d} .

Altri progetti

• Wikizionario

• Wikimedia Commons

• Wikizionario contiene il lemma di dizionario «diagonale»

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su diagonale